Eenvoudige functie

In de wiskundige gebied van reële analyse, een eenvoudige functie is een reële waarde functie over een deelverzameling van de echte lijn, vergelijkbaar met een stapfunctie. Eenvoudige functies voldoende 'nice', dat het gebruik ervan maakt wiskundig redeneren, theorie, en het bewijs gemakkelijker. Bijvoorbeeld eenvoudige functies bereiken slechts een eindig aantal waarden. Sommige auteurs vereisen ook eenvoudige functies meetbaar zijn; zoals in de praktijk, ze onveranderlijk zijn.

Een eenvoudig voorbeeld van een eenvoudige functie is de vloer functie via halfopen interval [1,9), waarvan slechts waarden {1,2,3,4,5,6,7,8}. Een meer geavanceerde voorbeeld is de Dirichlet functie over de echte lijn, waarbij de waarde 1 neemt als x is rationeel en 0 anderszins. Merk ook op dat alle stapfuncties eenvoudig.

Eenvoudige gangen worden gebruikt als een eerste stap in de ontwikkeling van theorieën van integratie, zoals Lebesgue integraal, omdat het gemakkelijk is om te definiëren integratie van een eenvoudige functie, en ook is het eenvoudig om meer algemene functies benaderen door sequenties van eenvoudige functies.

Definitie

Formeel, een eenvoudige functie is een eindige lineaire combinatie van indicator functies van meetbare sets. Meer precies, laat een meetbare ruimte. Laat A1, ..., An ∈ Σ zijn een opeenvolging van meetbare sets, en laat a1, ..., een van een reeks van reële of complexe getallen. Een eenvoudige functie is een functie van de vorm

waar is de indicator voor de functie van de set A.

Eigenschappen van eenvoudige functies

De som, verschil, en product van twee eenvoudige functies zijn weer eenvoudige functies en vermenigvuldiging met constant houdt een eenvoudige functie eenvoudig; Hieruit volgt dat het verzamelen van alle eenvoudige functies op een gegeven meetbare ruimte vormt een commutatieve algebra voorbij.

Integratie van eenvoudige functies

Als een maatregel μ wordt bepaald aan de ruimte, de integraal van f met betrekking tot μ is

als alle summands zijn eindig.

Relatie tot Lebesgue integratie

Elke niet-negatieve meetbare functie is de puntsgewijze limiet van een monotoon toenemende reeks van niet-negatieve eenvoudige functies. Inderdaad, laat een niet-negatieve meetbare functie gedefinieerd over de maatregel ruimte als voorheen. Voor elk verdelen het gebied in intervallen, waarvan de lengte. Voor elke Stel

Nu bepalen de meetbare sets

Dan toenemende reeks eenvoudige functies

convergeert puntsgewijs te noemen. Merk op dat, wanneer wordt begrensd, de convergentie is uniform. Deze aanpassing van de door de eenvoudige functies laat ons toe om een ​​integrale zichzelf te definiëren; zie het artikel over Lebesgue integratie voor meer informatie.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha