Geprojecteerd dynamisch systeem

Geprojecteerd dynamische systemen is een wiskundige theorie onderzoek naar het gedrag van dynamische systemen waar de oplossingen zijn beperkt tot een beperking set. De discipline aandelen verbindingen naar en toepassingen met zowel de statische wereld van de optimalisatie en evenwicht problemen en de dynamische wereld van gewone differentiaalvergelijkingen. Een geprojecteerde dynamisch systeem wordt gegeven door de stroom naar de geprojecteerde differentiaalvergelijking

waarbij K onze constraint ingesteld. Differentiaalvergelijkingen van dit formulier zijn opmerkelijk voor het hebben van een discontinue vector veld.

Geschiedenis van de verwachte dynamische systemen

Geprojecteerd dynamische systemen hebben zich ontwikkeld uit de wens om dynamisch model van het gedrag van nonstatic oplossingen in evenwicht problemen over enkele parameter, meestal naar tijd. Deze dynamiek verschilt van die van gewone differentiaalvergelijkingen in die oplossingen zijn nog steeds beperkt tot wat beperking set de onderliggende evenwicht probleem bezig was, bv nonnegativity van beleggingen in financiële modellering, bolle veelvlakkige sets in operationeel onderzoek, enz. Een bijzonder belangrijke klasse van evenwicht problemen die heeft geholpen bij de opkomst van de verwachte dynamische systemen is dat van variatierekening ongelijkheden.

De formalisering van de geprojecteerde dynamische systemen begon in de jaren 1990. Echter, kunnen gelijkaardige concepten worden gevonden in de wiskundige literatuur die dit antidateren, met name in verband met variationele ongelijkheid en differentiële insluitsels.

Projecties en Kegels

Elke oplossing voor onze verwachte differentiaalvergelijking moet binnenkant van onze beperkingen te stellen K voor altijd blijven. Dit gewenste resultaat wordt bereikt door het gebruik van projectie operators en twee bijzonder belangrijke klassen convexe kegels. Hier nemen we K een gesloten, convexe deelverzameling van sommige Hilbert ruimte X.

De normale conus om de set K op het punt x in K wordt gegeven door

De tangens conus om de set K op het punt x wordt gegeven door

De projectie exploitant van een punt x in X K wordt gegeven door het punt in K zodanig dat

voor elke y in K.

De vector projectie exploitant van een vector v in X op een punt x in K wordt gegeven door

Geprojecteerd differentiaalvergelijkingen

Gegeven een gesloten convexe deelverzameling K van een Hilbert ruimte X en een vectorveld -F welke elementen ontleent K in X, wordt de geprojecteerde differentiaalvergelijking geassocieerd met K en -F gedefinieerd als

Aan de binnenkant van K oplossingen gedragen die zouden het stelsel was ongedwongen gewone differentiaalvergelijking. Aangezien het vectorveld discontinu langs de grens van de set geprojecteerd differentiaalvergelijkingen behoren tot de klasse van discontinue gewone differentiaalvergelijkingen. Hoewel dit maakt veel gewone differentiaalvergelijking toepassing theorie, is het bekend dat wanneer -F een Lipschitzcontinue continu vectorveld een unieke absoluut continue oplossing bestaat door elk beginpunt x = x0 in K van de tussentijd.

Deze differentiaalvergelijking kan afwisselend worden gekenmerkt door

of

De conventie van de aanduiding van het vector veld -F met een negatief teken komt voort uit een bepaalde verbinding geprojecteerd dynamische systemen aandelen variatierekening ongelijkheden. De conventie in de literatuur is te verwijzen naar de vector veld als positief in de variatierekening ongelijkheid, en negatief in de bijbehorende geprojecteerde dynamisch systeem.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha