Reksnelheid tensor

In continuummechanica, de vervormingssnelheid tensor is een fysische grootheid die de veranderingssnelheid van de vervorming van een materiaal in de nabijheid van een bepaald punt beschreven, op een bepaald moment van de tijd. Het kan worden gedefinieerd als de afgeleide van de vervormingstensor in de tijd, of de symmetrische component van de gradiënt van de stroomsnelheid.

De reksnelheid tensor is een puur kinematische concept dat de macroscopische beweging van het materiaal beschrijft. Het maakt dus niet afhankelijk van de aard van het materiaal of de krachten en spanningen die kunnen optreden op het; en het geldt voor elke continu medium, of vaste, vloeibare of gas.

Anderzijds, om alle vloeistof behalve superfluids elke geleidelijke verandering in zijn vervorming leidt tot viskeuze krachten in het interieur, door wrijving tussen naburige vloeistofelementen, die de neiging hebben tegen deze wijziging. Op elk punt in het fluïdum, kunnen deze spanningen worden beschreven door een viskeuze spanningstensor die bijna altijd volledig bepaald door de vervormingssnelheid tensor en bepaalde intrinsieke eigenschappen van de vloeistof op dat moment. Viskeuze spanning komen ook in vaste stoffen, naast de elastische spanning waargenomen statische vervorming; wanneer het te groot is om te negeren, wordt het visco-elastische materiaal genoemd worden.

Definitie

Overweeg een stoflichaam, vast of vloeibaar, dat stroomt en / of de ruimte bewegen. Laten het snelheidsveld in het lichaam; dat is, een gladde functie in zodat de macroscopische snelheid van het materiaal dat door het punt in de tijd.

De snelheid op een punt verplaatst van een kleine vector kan worden geschreven als een Taylor serie:

waarbij het verloop van het snelheidsveld, opgevat als een lineaire verplaatsing die een vector is om de overeenkomstige verandering in de snelheid.

Total veld. Constante deel. Lineair gedeelte. Niet-lineaire residu. De snelheid veld van een willekeurige stroming rond een punt, op een bepaald moment en de voorwaarden van de eerste orde Taylor benadering over. De derde component van de snelheid wordt verondersteld overal nul.

In een willekeurige referentiekader, is de Jacobiaan matrix van het veld, namelijk de matrix 3 × 3

waarbij de component van evenwijdig aan as en geeft de partiële afgeleide van een functie met betrekking tot de ruimtecoördinaat. Merk op dat een functie is van en.

In dit coördinatenstelsel, de Taylor benadering voor de snelheid buurt is

of eenvoudig, indien en worden beschouwd als 3 x 1 matrices.

Symmetrische en antisymmetrische delen

Het symmetrische deel van de lineaire uitdrukking van het voorbeeld stroming. Het antisymmetrische deel van de lineaire term.

Elke matrix kan worden ontleed in de som van een symmetrische matrix en een antisymmetrisch matrix. Toegepast op de Jacobiaan respectievelijk symmetrische en antisymmetrische en componenten:

Dat is,

Deze afbraak is onafhankelijk van coördinatensysteem en dat er fysieke betekenis. Vervolgens het veld snelheid kan worden benaderd als

dat is,

De antisymmetrische term vertegenwoordigt een stijf-achtige rotatie van de vloeistof rond het punt. De hoeksnelheid

Het product wordt de rotatie krul van het vectorveld. Een starre rotatie niet de relatieve posities van de vloeistofelementen veranderen, zodat de antisymmetrische duur van de snelheidsgradiënt niet bijdraagt ​​aan de veranderingssnelheid van de vervorming. De werkelijke mate van spanning wordt dus beschreven door de symmetrische term, de reksnelheid tensor.

Afschuifsnelheid en compressie

De scalaire gedeelte van de stam tarief tensor. De spoorloze deel van de stam tarief tensor.

De symmetrische looptijd van snelheidsgradiënt kan verder worden afgebroken als de som van een scalaire keer de eenheid tensor, dat een geleidelijke isotrope expansie of inkrimping vertegenwoordigt; en een spoorloos symmetrische tensor die een geleidelijke scheren vervorming vertegenwoordigt, met geen verandering in volume:

Dat is,

Hier is de eenheid tensor, zoals dat is 1, indien en 0 als. Deze afbraak is onafhankelijk van de keuze van het coördinatensysteem, en derhalve fysiek significant.

De uitbreiding tarief tensor is 1/3 van de divergentie van het veld snelheid:

dat is de snelheid waarmee het volume van een vaste hoeveelheid fluïdum toe bij dat punt.

De afschuifsnelheid tensor wordt weergegeven door een symmetrische 3 x 3 matrix, en beschrijft een stroming combineert compressie en expansie stroomt langs drie orthogonale assen, zodat er geen verandering in volume. Dit type stroming optreedt, bijvoorbeeld als een rubberen strook wordt uitgerekt door te trekken aan de uiteinden, of als honing vallen van een lepel als gladde ononderbroken stroom.

Voor een tweedimensionale stroming, de divergentie van slechts twee termen en meten van de verandering in de omgeving boven volume. De factor 1/3 in de uitbreiding tarief termijn moet worden vervangen door 1/2 in dat geval.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha