S-dualiteit

In de theoretische natuurkunde, S-dualiteit is een gelijkwaardigheid van twee fysieke theorieën, die ofwel kwantumveldentheorieën of snaartheorieën kunnen zijn. S-dualiteit is bruikbaar voor berekeningen doet het theoretisch werk omdat deze betrekking hebben een theorie waarin berekeningen moeilijk een theorie waarin ze gemakkelijker.

In kwantumveldentheorie, S-dualiteit generaliseert een bekend feit uit de klassieke elektrodynamica, namelijk de onveranderlijkheid van de vergelijkingen van Maxwell onder de uitwisseling van elektrische en magnetische velden. Een van de vroegst bekende voorbeelden van S-dualiteit in kwantumveldentheorie is Montonen-Olive dualiteit die twee versies van een kwantumveldentheorie genaamd N = 4 supersymmetrische Yang-Mills theorie betreft. Recent werk van Anton Kapustin en Edward Witten suggereert dat Montonen-Olive dualiteit nauw verwant is aan een programma voor onderzoek in de wiskunde wel de geometrische Langlands programma. Een andere realisatie van S-dualiteit in kwantumveldentheorie is Seiberg dualiteit, die twee versies van een theorie genaamd N = 1 supersymmetrische Yang-Mills theorie betreft.

Er zijn ook veel voorbeelden van S-dualiteit in snaartheorie. Het bestaan ​​van deze reeks dualiteiten impliceert dat schijnbaar verschillende formuleringen van de snaartheorie daadwerkelijk fysiek equivalent. Dit leidde tot de realisatie, in het midden van de jaren 1990, dat alle vijf consistente supersnaartheorie theorieën zijn verschillende beperkende gevallen van één enkel elf-dimensionale theorie genaamd M-theorie.

Overzicht

In kwantumveldentheorie en snaartheorie, een koppeling constante is een getal dat de sterkte van de interacties in de theorie controleert. Zo wordt de kracht van de zwaartekracht beschreven door een aantal zogenaamde Newton constante, die Newtons zwaartekracht en in de vergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie Albert Einstein verschijnt. Evenzo wordt de sterkte van de elektromagnetische kracht beschreven door een koppelconstante, die gerelateerd is aan de lading door één proton gedragen.

Aan waarneembare hoeveelheden quantumveldtheorie of snaartheorie berekenen, natuurkundigen doorgaans toepassing van de methoden van perturbatietheorie. In storingstheorie hoeveelheden zogenaamde waarschijnlijkheid amplitudes, waarbij de kans op verschillende fysische processen optreden bepalen, uitgedrukt als som van oneindig veel termen, waarbij elke term evenredig is met een macht van de koppelingsconstante:

Om een ​​dergelijke expressie zinvol moet de koppelingsconstante kleiner dan 1, zodat het hogere vermogens van geworden verwaarloosbaar klein en de som is eindig. Als de koppeling constante is niet minder dan 1, dan is de bepalingen van dit bedrag zal groter en groter worden, en de uitdrukking geeft een zinloze oneindige antwoord. In dit geval wordt de theorie genoemde sterk te koppelen, en men kan storingstheorie gebruiken om voorspellingen te doen.

Voor bepaalde theorieën, S-dualiteit biedt een manier van het doen van berekeningen op een sterke koppeling door het vertalen van deze berekeningen in verschillende berekeningen in een zwak gekoppelde theorie. S-dualiteit is een bijzonder voorbeeld van een algemeen begrip van de dualiteit in de natuurkunde. De term dualiteit verwijst naar een situatie waarin twee ogenschijnlijk verschillende fysische systemen blijken equivalent in een niet-triviale wijze te zijn. Als twee theorieën zijn gerelateerd door een dualiteit, betekent dit dat men theorie kan worden omgezet in andere manier zodat het uiteindelijk uit net als de andere theorie. De twee theorieën worden dan genoemde tweevoudige elkaar onder de transformatie zijn. Anders gezegd, de twee theorieën mathematisch verschillende beschrijvingen van hetzelfde fenomeen.

S-dualiteit is nuttig omdat het betrekking heeft een theorie koppelingsconstante naar een gelijkwaardige theorie koppelingsconstante. Zo gaat een sterk gekoppeld theorie een zwak gekoppelde theorie. Daarom is S-dualiteit genoemd een sterke zwakke dualiteit.

S-dualiteit in kwantumveldentheorie

Een symmetrie van de vergelijkingen van Maxwell

In de klassieke natuurkunde is het gedrag van het elektrische en magnetische veld beschreven door een stelsel van vergelijkingen zogenaamde Maxwell vergelijkingen. Werken in de taal van de vector calculus en in de veronderstelling dat er geen elektrische ladingen of stromen aanwezig zijn, kunnen deze vergelijkingen worden geschreven

Hier is een vector die het elektrische veld, een vector die het magnetisch veld, tijd, en is de lichtsnelheid. De andere symbolen in deze vergelijkingen betrekking op de divergentie en rotatie, die begrippen uit vector calculus zijn.

Een belangrijke eigenschap van deze vergelijkingen is hun invariantie onder de transformatie die tegelijkertijd vervangt het elektrische veld door het magnetische veld en vervangt door:

Met andere woorden, aangezien een paar elektrische en magnetische velden die Maxwell's vergelijkingen op te lossen, is het mogelijk om een ​​nieuwe fysieke installatie waarin deze elektrische en magnetische velden wezen verwisseld beschrijven de nieuwe velden weer een oplossing van Maxwell vergelijkingen geven. Deze situatie is de meest elementaire manifestatie van S-dualiteit in kwantumveldentheorie. Zoals we hieronder uitgelegd, zijn er versies van S-dualiteit die direct generaliseren deze symmetrie van Maxwell vergelijkingen in het kader van kwantumveldentheorie.

Montonen-Olive dualiteit

In kwantumveldentheorie, worden de elektrische en magnetische velden verenigd in een enkele entiteit genaamd het elektromagnetisch veld, en dit gebied wordt beschreven door een speciaal soort kwantumveldentheorie genoemd ijktheorie of Yang-Mills theorie. In een ijktheorie, fysieke velden hebben een hoge mate van symmetrie die mathematisch kan worden begrepen met het begrip Lie groep. Dit Lie groep staat bekend als de meter groep. Het elektromagnetisch veld wordt beschreven door een zeer eenvoudige ijktheorie overeenkomt met de abelse ijkgroep U, maar er zijn andere ijktheorieën meer gecompliceerde niet-abelse gauge groepen.

Het is natuurlijk om te vragen of er een analoge in ijktheorie van de symmetrie verwisselen van de elektrische en magnetische velden in de vergelijkingen van Maxwell. Het antwoord werd gegeven in de late jaren 1970 door Claus Montonen en David Olive, voortbouwend op eerder werk van Peter Goddard, Jean Nuyts en Olive. Hun werk geeft een voorbeeld van S-dualiteit nu bekend als Montonen-Olive dualiteit. Montonen-Olive dualiteit geldt voor een heel speciaal soort ijktheorie zogenaamde N = 4 supersymmetrische Yang-Mills theorie, en het zegt dat twee van dergelijke theorieën equivalent in een bepaalde specifieke betekenis kunnen zijn. Indien één van de theorieën een ijkgroep, dan is de duale theorie ijkgroep wanneer duidt de Langlands tweevoudige groep die in het algemeen anders.

Een belangrijke hoeveelheid in kwantumveldentheorie is complexified koppeling constant. Het is een complex getal dat door de formule

waarbij theta de hoek, een hoeveelheid die in het Lagrangiaanse dat de theorie definieert, en is de koppelingsconstante. Bijvoorbeeld, in de Yang-Mills theorie dat het elektromagnetische veld beschrijft dit aantal alleen de elementaire lading door één proton gedragen. Naast het uitwisselen van de meter groepen van de twee theorieën, Montonen-Olive dualiteit transformeert een theorie met complexified koppeling koppeling constant een theorie met complexified constant.

Ten opzichte van het Langlands programma

In de wiskunde, de klassieke Langlands correspondentie is een verzameling van de resultaten en vermoedens met betrekking getaltheorie aan de tak van de wiskunde bekend als representatie theorie. Geformuleerd door Robert Langlands in de late jaren 1960, is de Langlands correspondentie over belangrijke vermoedens in de getaltheorie zoals de Taniyama-Shimura gissingen, die laatste stelling van Fermat als een speciaal geval bevat.

Ondanks het belang ervan in de getaltheorie, tot oprichting van de Langlands correspondentie van het aantal theoretische kader is het uiterst moeilijk gebleken. Dientengevolge, hebben sommige wiskundigen gewerkt aan een verwante vermoeden zogenaamde meetkundige Langlands correspondentie. Dit is een geometrische herformulering van de klassieke Langlands correspondentie die wordt verkregen door het vervangen van het aantal velden die in de originele versie van functievelden en toepassen van technieken uit de algebraïsche meetkunde.

In een document uit 2007, Anton Kapustin en Edward Witten suggereerde dat de meetkundige Langlands correspondentie kan worden gezien als een wiskundige verklaring van Montonen-Olive dualiteit. Te beginnen met twee Yang-Mills theorieën verband met de S-dualiteit, Kapustin en Witten bleek dat men een paar kwantumveldentheorieën kunnen bouwen in twee-dimensionale ruimtetijd. Door het analyseren van wat dit dimensionele reductie doet om bepaalde fysieke objecten genaamd D-branen, toonden ze aan dat men kan herstellen van de wiskundige ingrediënten van de meetkundige Langlands correspondentie. Hun werk toont aan dat de Langlands correspondentie nauw verwant is aan S-dualiteit in kwantumveldentheorie, met mogelijke toepassingen in beide onderwerpen.

Seiberg dualiteit

Een andere realisatie van S-dualiteit in kwantumveldentheorie is Seiberg dualiteit, eerst geïntroduceerd door Nathan Seiberg rond 1995. In tegenstelling tot Montonen-Olive dualiteit, die twee versies van de maximaal supersymmetrische ijktheorie in vier-dimensionale ruimtetijd betreft, Seiberg dualiteit betreft minder symmetrische theorieën riep N = 1 supersymmetrische ijktheorieën. De beide N = 1 theorieën vermeld in Seiberg dualiteit niet identiek, maar geven aanleiding tot dezelfde natuurkunde op grote afstand. Net Montonen-Olive dualiteit, Seiberg dualiteit generaliseert de symmetrie van Maxwell's vergelijkingen die elektrische en magnetische velden verwisselt.

S-dualiteit in snaartheorie

Tot het midden van de jaren 1990, natuurkundigen werken aan snaartheorie geloofde er waren vijf verschillende versies van de theorie: type I, het type IIA, het type IIB, en de twee smaken van heterotische snaartheorie en E8 × E8). De verschillende theorieën staan ​​verschillende soorten snaren, en de deeltjes die ontstaan ​​bij lage energieën vertonen verschillende symmetrieën.

In het midden van de jaren 1990, natuurkundigen gemerkt dat deze vijf snaartheorieën eigenlijk verwant zijn door zeer triviale dualiteiten. Een van deze dualiteiten S-dualiteit. Het bestaan ​​van S-dualiteit in string theorie werd eerst Ashoke Sen voorgesteld in 1994. Er werd aangetoond dat type IIB snaartheorie de koppelingsconstante gelijk via S-dualiteit dezelfde snaartheorie de koppelingsconstante. Ook type I snaartheorie de koppeling gelijk aan de PvB heterotische snaartheorie de koppelingsconstante.

Het bestaan ​​van deze dualiteiten toonde aan dat de vijf snaartheorieën in feite niet alle verschillende theorieën. In 1995, bij de snaartheorie conferentie aan de Universiteit van Zuid-Californië, Edward Witten maakte de verrassende suggestie dat alle vijf van deze theorieën waren gewoon verschillende grenzen van een enkele theorie nu bekend als M-theorie. Witten voorstel was gebaseerd op de waarneming dat het type IIA en E8 × E8 heterotische snaartheorieën zijn nauw verwant aan een zwaartekracht theorie genaamd elf-dimensionale supergravitatie. Zijn aankondiging leidde tot een vlaag van het werk nu bekend als de tweede superstring revolutie.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha