Segre inbedding

In de wiskunde, is de Segre inbedding gebruikt in de projectieve meetkunde aan de cartesiaanse product van twee projectieve ruimten beschouwen als een projectieve variëteit. Het is vernoemd naar Corrado Segre.

Definitie

De Segre kaart kan worden gedefinieerd als de kaart

die een paar punten hun product

.

Hier, en zijn projectieve vector ruimten over een willekeurig gebied, en de notatie

dat homogene coördinaten op de ruimte. Het beeld van de kaart is een variatie, heet een Segre variëteit. Het is soms geschreven als.

Discussie

In de taal van lineaire algebra, voor bepaalde vectorruimten U en V via hetzelfde veld K, is er een natuurlijke manier om hun Cartesiaans product toegewezen aan hun tensorprodukt.

In het algemeen hoeft dit niet injectief omdat in in en in elk nul zijn,

Gezien de onderliggende projectieve ruimten P en P, dit in kaart brengen wordt een morfisme van rassen

Dit is niet alleen injectieve in de set-theoretische zin: het is een gesloten onderdompeling in de zin van de algebraïsche meetkunde. Dat wil zeggen, kan men een set van vergelijkingen voor het beeld te geven. Behalve notatie problemen, is het gemakkelijk om te zeggen welke dergelijke vergelijkingen: drukken zij twee manieren factoringproducten coördinaten van de tensor product, verkregen op twee verschillende manieren iets van U keer iets van V.

Deze mapping of morfisme σ is de Segre inbedding. Tellen afmetingen, het laat zien hoe het product van projectieve ruimten afmetingen m en n bedt in dimensie

Klassieke terminologie noemt de coördinaten op het product multihomogeneous, en het product gegeneraliseerd naar k factoren k-way projectieve ruimte.

Properties

De Segre ras is een voorbeeld van een determinantal ras; het is nul locus van de 2 x 2 minderjarigen van de matrix. Dat wil zeggen de Segre ras gemeenschappelijke nul locus van de kwadratische veeltermen

Hier wordt verstaan ​​de natuurlijke coördineren op het imago van de kaart Segre.

De Segre variëteit is de categorische product van en. De projectie

naar de eerste factor kan worden opgegeven door m + 1 kaarten op open deelverzamelingen die de Segre variëteit, die het eens over snijpunten van de subsets. Voor vaste, wordt de kaart gegeven zendt. De vergelijkingen garanderen dat deze kaarten met elkaar overeenstemmen, omdat als we.

De vezels van het product zijn lineaire deelruimten. Dat is, laat

als projectie de eerste factor; en ook voor de tweede factor. Dan is het beeld van de kaart

een vast punt p een lineaire deelruimte van de codomein.

Voorbeelden

Kwadratisch

Bijvoorbeeld met m = n = 1 krijgen we een verankering van het product van de projectieve lijn met zichzelf in P. Het beeld is een kwadratisch, en is goed te zien aan twee een-parameter families van regels bevatten. Over de complexe getallen is dit een vrij algemeen niet-singuliere quadric. Letting

worden de homogene coördinaten op P Deze kwadratisch gegeven als nul locus van de kwadratische polynoom door de determinant

Segre drievoudige

De kaart

is bekend als het drievoudige Segre. Het is een voorbeeld van een rationele normale rol. Het snijpunt van de Segre drievoudig en een drie-vlak is een gedraaide derdegraads kromme.

Veronese verscheidenheid

Het beeld van de diagonaal onder de kaart Segre is de Veronese verscheidenheid van graad twee

Toepassingen

Omdat de kaart Segre is om de categorische product van projectieve ruimten, het is een natuurlijke mapping voor het beschrijven van verstrikt staten in de kwantummechanica en kwantuminformatietheorie. Meer in het bijzonder, de kaart Segre beschrijft hoe de producten van projectieve Hilbertruimten nemen.

In algebraïsche statistieken, Segre variëteiten overeenstemmen met de onafhankelijkheid modellen.

De Segre inbedding van P × P in P is de enige Severi verschillende dimensie 4.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha