Somos opeenvolging

In wiskunde, een Somos sequentie een reeks getallen gedefinieerd door een bepaalde recursierelatie hieronder beschreven. Ze werden ontdekt door wiskundige Michael Somos. Het is niet duidelijk uit de vorm van hun herhaling bepalen dat elk getal in een reeks Somos een geheel getal, maar toch veel Somos sequenties hebben de eigenschap dat al hun leden integers.

Herhaling vergelijkingen

Voor een geheel getal k groter dan 1, wordt het Somos k-sequentie gedefinieerd door de vergelijking

als k oneven is, of de analoge vergelijking

wanneer k is ook samen met de beginwaarden

Voor k = 2 of 3, die recursies zijn zeer eenvoudig en definiëren zij de all-ones sequentie. In het eerste geval triviaal, k = 4, de bepalende vergelijking is

terwijl voor k = 5 de vergelijking

Deze vergelijkingen kunnen worden herschikt in de vorm van een recidief relatie, waarbij de waarde van een aan de linkerkant van de herhaling wordt bepaald door een formule aan de rechterkant, door de formule te delen door een - k. Voor k = 4, levert dit de herhaling

terwijl voor k = 5 het geeft de herhaling

Terwijl in de gebruikelijke definitie van Somos sequenties, de waarden van ai voor i & lt; k zijn allemaal gelijk aan 1 stellen, is het ook mogelijk andere sequenties definiëren met dezelfde recidieven met verschillende beginwaarden.

Sequence waarden

De waarden in de Somos-4 sequentie

De waarden in de Somos-5 sequentie

De waarden in de Somos-6 sequentie

De waarden in de Somos-7 sequentie

Volledigheid

De vorm van de recidieven beschrijven Somos sequenties omvat afdelingen, waardoor het lijkt waarschijnlijk dat de door deze herhaling sequenties fractionele waarden bevat. Toch voor k ≤ 7 de Somos sequenties bevatten slechts gehele waarden. Verschillende wiskundigen hebben het probleem van de bewijzen en verklaren deze woning geheel getal van de Somos sequenties bestudeerd. Een elementaire bewijs voor integraliteit van de Somos-5-sequentie door Michael J Crabb van Glasgow University is te vinden op de website van Michael Wemyss's.

Voor k ≥ 8 de analoog gedefinieerde sequenties uiteindelijk fractionele waarden bevatten.

Voor k & lt; 7, wijzigen van de waarden ook typisch resulteert in fractionele waarden.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha