Speciale gevallen van Apollonius 'probleem

In Euclidische meetkunde, Apollonius probleem is om alle cirkels die raakt aan drie gegeven cirkels construeren. Speciale gevallen van Apollonios problemen zijn die waarbij ten minste één van de gegeven cirkel een punt of een lijn, dat wil zeggen, een cirkel van radius nul of oneindig. De negen soorten van dergelijke beperking van gevallen van Apollonius 'probleem zijn om de cirkels raakt aan de bouw:

  • drie punten
  • drie lijnen
  • één regel en twee punten
  • twee lijnen en een punt
  • een cirkel en twee punten
  • een cirkel, een lijn, en een punt
  • twee cirkels en een punt
  • een cirkel en twee lijnen
  • twee cirkels en een lijn

In een ander type grensgeval kan de drie gegeven geometrische elementen een speciale regeling hebben, bijvoorbeeld construeren van een cirkel die raakt aan twee parallelle lijnen en een cirkel.

Historische inleiding

Net als de meeste takken van de wiskunde, is Euclidische meetkunde bezig met bewijzen van algemene waarheden van een minimum van postulaten. Bijvoorbeeld, een eenvoudige bewijs blijkt dat ten minste twee hoeken van een gelijkbenige driehoek gelijk. Een belangrijke vorm van bewijs in Euclidische meetkunde is aan te tonen dat een geometrisch object kan worden gebouwd met een kompas en een ongemarkeerde liniaal; Een object kan worden geconstrueerd als en slechts als. Daarom is het belangrijk om te bepalen of een object kan worden geconstrueerd met kompas en liniaal en, zo ja, hoe het kan worden geconstrueerd.

Euclid ontwikkelde tal van constructies met passer en liniaal. Voorbeelden hiervan zijn: regelmatige veelhoeken zoals de vijfhoek en zeshoek, een lijn parallel aan een ander die door een gegeven punt passeert, etc. Veel steeg ramen in gotische kathedralen, evenals een aantal Keltische knopen, kan worden ontworpen met behulp van slechts Euclidische constructies. Sommige geometrische constructies niet met dergelijke instrumenten, zoals de zevenhoek en trisecting schuin.

Apollonius bijgedragen vele constructies, namelijk het vinden van de cirkels die raken aan drie geometrische elementen tegelijkertijd, waar de "elementen" kan een punt, lijn of cirkel zijn.

Regels van Euclidische constructies

In Euclidische constructies worden vijf operaties toegestaan:

  • Trek een lijn door twee punten
  • Teken een cirkel door een punt met een bepaald centrum
  • Vind het snijpunt van twee lijnen
  • Vind de snijpunten van twee cirkels
  • Vind de snijpunten van een lijn en een cirkel

De eerste elementen van een geometrische constructie zijn de zogenaamde "givens", zoals bepaald punt, een bepaalde lijn of een gegeven cirkel.

Voorbeeld 1: middelloodlijn

Om de middelloodlijn van het lijnstuk tussen twee punten tekenen zijn twee cirkels, elk gecentreerd op een eindpunt en door het andere eindpunt. De snijpunten van deze twee cirkels op gelijke afstand van de eindpunten. De lijn door hen is de middelloodlijn.

Voorbeeld 2: Hoek bisector

Om de lijn die doorsnijdt de hoek tussen twee gegeven stralen vereist een cirkel willekeurige radius gecentreerd op het snijpunt P van de twee lijnen te genereren. De snijpunten van deze cirkel met twee gegeven lijnen T1 en T2. Twee cirkels van dezelfde straal, gecentreerd op T1 en T2, elkaar snijden in punten P en Q. De lijn door P en Q een hoek bisector. Stralen hebben de ene hoek bisector; lijnen twee, loodrecht op elkaar.

Voorlopige resultaten

Een paar fundamentele resultaten zijn nuttig bij het oplossen van bijzondere gevallen van Apollonius 'probleem. Merk op dat een lijn en een punt kan worden gezien als kringen van oneindig groot en oneindig kleine radius, respectievelijk.

  • Een cirkel raakt aan een punt als het door de punt, en rakend aan een lijn als ze elkaar snijden in een punt P of indien de lijn loodrecht op een radius getrokken middelpunt van de cirkel P.
  • Cirkels raakt aan twee gegeven punten moeten op de middelloodlijn liggen.
  • Cirkels rakend aan twee gegeven lijnen moet de hoek bissectrice liggen.
  • Raaklijn aan een cirkel vanuit een bepaald punt draw halve cirkel gecentreerd op het middelpunt tussen het middelpunt van de cirkel en het gegeven punt.
  • Macht van een punt en het harmonisch gemiddelde
  • De radicale as van twee cirkels is de verzameling van punten van gelijke raaklijnen, of meer in het algemeen, gelijk vermogen.
  • Cirkels kan worden geïnverteerd in lijnen en cirkels in cirkels.
  • Als twee cirkels zijn inwendig rakend, blijven zij dus als hun radii verhoogd of verlaagd met hetzelfde bedrag. Omgekeerd, als twee cirkels uitwendig raakt, blijven zij dus als hun radii veranderd met dezelfde hoeveelheid in tegengestelde richting, een verhoging en de andere afneemt.

Soorten oplossingen

Type 1: Drie punten

PPP problemen meestal één oplossing. Zoals hierboven weergegeven, als een cirkel doorloopt twee gegeven punten P1 en P2 moet zijn centrum ergens liggen op de middelloodlijn lijn van de twee punten. Als dus de oplossing cirkel gaat door drie gegeven punten P1, P2 en P3, zijn centrum moet de middelloodlijnen van liggen en. Ten minste twee van deze middelloodlijnen moeten kruisen en hun snijpunt het middelpunt van de cirkel oplossing. De straal van de cirkel oplossing is de afstand van dit centrum één van de drie gegeven punten.

Type 2: Drie lijnen

LLL problemen bieden over het algemeen 4 oplossingen. Zoals hierboven weergegeven, als een cirkel raakt aan twee gegeven lijnen zijn centrum moet op een van de twee lijnen die de hoek tussen de twee gegeven lijnen bisect liggen. Daarom, als een cirkel raakt aan drie gegeven lijnen L1, L2 en L3, het middelpunt C moet zich op het snijpunt van de bissectrice lijnen van de drie lijnen gegeven. In het algemeen zijn er vier van dergelijke punten, die vier verschillende oplossingen voor het LLL Apollonius probleem. De straal van elke oplossing wordt bepaald door het vinden van een raakpunt T, die kunnen worden uitgevoerd door één van de drie snijpunten P tussen de gegeven lijnen; en een cirkel gecentreerd op het middelpunt van C en P diameter gelijk aan de afstand tussen C en P. De snijpunten van deze cirkel met de kruisende lijnen gegeven zijn de twee raakpunten.

Type 3: Een punt, twee lijnen

PLL problemen hebben meestal 2 oplossingen. Zoals hierboven weergegeven, als een cirkel raakt aan twee gegeven lijnen zijn centrum moet op een van de twee lijnen die de hoek tussen de twee gegeven lijnen bisect liggen. Door symmetrie, indien een dergelijke cirkel gaat door een gegeven punt P, het moet ook door een punt Q dat de 'spiegelbeeld' van P de hoek bissectrice is. De twee oplossing cirkels passeren zowel P en Q, en hun radicale as is de lijn tussen deze twee punten. Beschouw punt G, waarbij de groep snijdt een van de twee gegeven lijnen. Aangezien elk punt op de machtlijn hetzelfde vermogen heeft ten opzichte van elke cirkel de afstanden en de oplossing raakpunten T1 en T2 zijn aan elkaar gelijk en het product

Aldus afstanden beide gelijk aan het meetkundig gemiddelde van en. Vanaf G en deze afstand kan de tangens punten T1 en T2 worden gevonden. Vervolgens werd de oplossing twee cirkels zijn de cirkels die door het drie punten en respectievelijk.

Type 4: Twee punten, één lijn

PPL problemen hebben over het algemeen 2 oplossingen. Wanneer een lijn l getrokken door de gegeven punten P en Q parallel aan de gegeven lijn L, is het raakpunt T van de cirkel met L op het snijpunt van de middelloodlijn van met L. In dat geval is de enige oplossing cirkel is de cirkel die door de drie punten P, Q en T. passeert

Wanneer de lijn l niet evenwijdig is aan de gegeven lijn L, dan L snijdt in een punt G. Door de kracht van een punt stelling, moet de afstand van G naar een raakpunt T het geometrische gemiddelde gelijk

Twee punten op de gegeven lijn L zijn gelegen op een afstand vanaf het punt G, welke kunnen worden aangeduid met T1 en T2. De twee oplossing cirkels zijn de cirkels die door het drie punten en respectievelijk.

Type 5: Een cirkel, twee punten

CPP problemen hebben meestal 2 oplossingen. Overweeg een cirkel gecentreerd op één bepaald punt P dat door middel van het tweede punt geeft Q. Aangezien de oplossing cirkel moet door P, inversie in deze cirkel transformeert de oplossing cirkel in een lijn lambda. Dezelfde inversie transformeert Q in zichzelf, en de gegeven cirkel C in een andere cirkel c. Aldus wordt het probleem dat om een ​​oplossing lijn die loopt door Q en raakt aan c, dat boven is opgelost; er zijn twee dergelijke lijnen. Opnieuw inversie produceert twee corresponderende cirkels oplossing van het oorspronkelijke probleem.

Type 6: Een cirkel, een lijn, een punt

CLP problemen hebben over het algemeen 4 oplossingen. De oplossing van dit bijzondere geval vergelijkbaar is met die van de CPP Apollonius oplossing. Teken een cirkel met het middelpunt op het gegeven punt P; omdat de oplossing cirkel moet door P, inversie in deze cirkel transformeert de oplossing cirkel in een lijn lambda. In het algemeen dezelfde inversie transformeert de gegeven lijn L en gegeven cirkel C in twee nieuwe cirkels, c1 en c2. Aldus wordt het probleem dat om een ​​oplossing raaklijn aan de twee omgekeerde cirkels, die hierboven werd opgelost. Er zijn vier van dergelijke lijnen, en re-inversie transformeert ze tot de vier oplossing kringen van de Apollonius probleem.

Type 7: Twee cirkels, een punt

CCP problemen hebben over het algemeen 4 oplossingen. De oplossing van dit bijzondere geval vergelijkbaar is met die van CPP. Teken een cirkel met het middelpunt op het gegeven punt P; omdat de oplossing cirkel moet door P, inversie in deze cirkel transformeert de oplossing cirkel in een lijn lambda. In het algemeen dezelfde inversie transformeert de gegeven cirkel C1 en C2 in twee nieuwe cirkels, c1 en c2. Aldus wordt het probleem dat om een ​​oplossing raaklijn aan de twee omgekeerde cirkels, die hierboven werd opgelost. Er zijn vier van dergelijke lijnen, en re-inversie transformeert ze in vier cirkels oplossing van het oorspronkelijke Apollonius probleem.

Type 8: Een cirkel, twee lijnen

CLL problemen hebben over het algemeen 8 oplossingen. Dit speciale geval is het meest eenvoudig op te lossen met behulp van schaalvergroting. De gegeven cirkel is gekrompen tot een punt, en de straal van de oplossing cirkel wordt hetzij verminderd met evenveel of verhoogd. Naargelang de oplossing kring wordt verhoogd of verlaagd in radii, worden de twee gegeven lijnen evenwijdig aan zichzelf in dezelfde mate, afhankelijk van het kwadrant het midden van de oplossing cirkel valt. Dit krimpen van de gegeven cirkel een punt vermindert het probleem om de PLL probleem boven opgelost. In het algemeen zijn er twee dergelijke oplossingen per kwadrant, waarbij alle acht oplossingen.

Type 9: Twee cirkels, één regel

CCL problemen meestal 8 oplossingen. De oplossing van dit speciale geval is vergelijkbaar met CLL. De kleinere cirkel is gekrompen tot een punt, terwijl het aanpassen van de radii van de grotere gegeven cirkel en een oplossing cirkel, en verplaatsen van de lijn evenwijdig aan zichzelf, naargelang deze intern of extern raken aan de kleinere cirkel. Dit vermindert het probleem CLP. Elke CLP probleem vier oplossingen, zoals hierboven beschreven, en er zijn twee dergelijke problemen, naargelang de oplossing cirkel intern of extern raakt aan de kleinere cirkel.

Bijzondere gevallen zonder oplossingen

Een Apollonius probleem is onmogelijk als de gegeven cirkels zijn genest, dat wil zeggen, als er een cirkel volledig omsloten binnen een bepaalde cirkel en de resterende cirkel is volledig uitgesloten. Dit volgt omdat elke oplossing cirkel zou moeten oversteken over de middelste cirkel om van de raaklijnen aan de binnenste cirkel om zijn tangency met de buitenste cirkel. Deze algemene resultaat heeft verschillende bijzondere gevallen, wanneer de gegeven cirkels zijn geslonken tot punten of uitgebreid met rechte lijnen. Bijvoorbeeld, het CCL probleem nul oplossingen als de twee cirkels zijn aan weerszijden van de lijn aangezien in dat geval zou een oplossing cirkel moet de gegeven lijn niet-tangentiaal steken om van het raakpunt van een cirkel die van de andere.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha