Szpilrajn uitbreiding stelling

In de wiskunde, de Szpilrajn uitbreiding stelling, als gevolg van Edward Szpilrajn, is één van de vele voorbeelden van het gebruik van het axioma van keuze om een ​​maximale set met bepaalde eigenschappen te vinden.

De stelling aan dat, gegeven een binaire relatie R die irreflexief en transitief is het altijd mogelijk een verlenging van de relatie die asymmetrisch negatief transitieve verbonden zijn.

Allereerst moeten we een aantal duidelijke definities van de terminologie die wij gebruiken spreken over de relaties met bijzondere eigenschappen te zijn.

Definitie

Gegeven een binaire relatie op een generieke set, zeggen we dat is negatief transitief als

Merk op dat negatieve transitiviteit kan ook worden herschreven als: gewoon met het feit dat kan worden herschreven als

Definitie

Gegeven een binaire relatie op een generieke set, zeggen we dat R is aangesloten als: of of.

Properties

Deze eigenschappen op binaire relaties kan gemakkelijk worden gecontroleerd door de definitie:

Precies uitdrukken de stelling, moeten we nog een paar definities en een nuttig, eenvoudig lemma.

Definitie

Lemma

Zij R een strikte gedeeltelijke bestelling op X. Dan bestaat er nog een binaire relatie T op X, die nog steeds een strikte gedeeltelijke orde en breidt R, vandaar:

Dit lemma kan gemakkelijk worden aangetoond door middel zodat die bestaat sinds het verband niet is aangesloten.

kunnen we nog een relatie te definiëren:

Tot slot stellen dat is triviaal een uitbreiding van R en andere strikte gedeeltelijke bestelling op X.

Stelling

Zij R een strikte gedeeltelijke bestelling op een set X. Dan bestaat er een verband T dat R zich uitstrekt en is een strikte volgorde op X.

Bewijs

Wij willen dat er een maximale element tonen met betrekking tot integratie stellen.

Om dit te doen, zullen we Zorn Lemma gebruiken. Allereerst willen we de hypothese van het Lemma controleren, vandaar dat een keten van toegeeft een bovengrens in.

Laten een keten in.

Bepalen

Duidelijk is een bovengrens aan de ketting, maar we moeten laten zien dat, dus dat is een ander strenge gedeeltelijke orde die R. uitstrekt

Uiteraard bevat R, alle R bevat, en het is irreflexief, zoals, aangezien elke

We moeten laten zien dat transitieve en hier gebruiken we de keten van eigenschappen.

Laat zodanig dat IFF.

Zoals gedefinieerd als een vereniging van sets, bestaat er

Maar is een keten met betrekking tot integratie, vandaar dat bezit of omgekeerd, zodat de twee paren van elementen van X behoren beide tot dezelfde set in de Unie, en dat de set is een transitieve relatie; dan is ook in die set, vandaar in.

Het toepassen van Zorn Lemma, we afleiden dat toegeeft een bovengrens met betrekking tot de opname vast te stellen; laten we noemen T die gebonden.

T is een volledig opzichte alsof het niet konden we een binaire relatie die strikt uitstrekt T; dit is de gedeeltelijke volgorde, toch zo een element te construeren, tegenspreken dat T een maximum van.

Dus T is een irreflexief, transitief en complete binaire relatie op X. Maar zoals we hierboven opgemerkt, irreflexivity en transitiviteit geven asymmetrie die met transitiviteit en volledigheid geven negatieve transitiviteit.

Vandaar dat T is een strikte volgorde op X dat de gedeeltelijke orde R. strekt

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha