Zes exponentiële stelling

FONT SIZE:
fontsize_dec
fontsize_inc
Maart 10, 2018 Leo Kuipers Z 0 7

In de wiskunde, in het bijzonder transcendentale getaltheorie, de zes exponentieel stelling is een resultaat dat, gezien de juiste omstandigheden van de exponenten, garandeert de transcendentie van ten minste één van een reeks exponenten.

Verklaring

Als x1, x2, ..., xd zijn d complexe getallen die lineair onafhankelijk via rationele getallen en y1, y2, ..., zijn yl l complexe getallen die ook lineair onafhankelijk via rationele getallen, en als DL & gt; d + l, dan ten minste één van de volgende nummers dl transcendentaal:

De meest interessante geval als d = 3 en L = 2, waarbij er zes exponenten, vandaar de naam van het resultaat. De stelling is zwakker dan de verwante, maar tot nu toe onbewezen vier exponenten vermoeden, waarbij de strikte ongelijkheid dl & gt; d + l wordt vervangen door dl ≥ d + l, waardoor d = l = 2.

De stelling kan in termen van logaritmes worden verklaard door de invoering van de reeks L van logaritmen van algebraïsche getallen:

De stelling zegt dan dat als λij elementen van L i = 1, 2 en j = 1, 2, 3, zodat λ11, λ12 en λ13 lineair onafhankelijk via rationele getallen en λ11 en λ21 ook lineair onafhankelijk via rationele getallen, dan is de matrix

heeft rang 2.

Geschiedenis

Een speciaal geval van het resultaat waarin x1, x2 en x3 zijn logaritmische positieve gehele getallen, y1 = 1 en y2 is real, werd het eerst vermeld in een artikel van Leonidas Alaoglu en Paul Erdős van 1944 waarin ze proberen te bewijzen dat de verhouding van opeenvolgende colossally overvloedige nummers is altijd eersteklas. Zij beweerden dat Carl Ludwig Siegel wist van een bewijs van dit speciale geval, maar het is niet opgenomen. Met behulp van de speciaal geval ze erin slagen om te bewijzen dat de verhouding van opeenvolgende colossally overvloedige nummers is altijd ofwel een prime of een semiprime.

De stelling werd voor het eerst expliciet vermeld en bleek in zijn volledige vorm onafhankelijk van Serge Lang en Kanakanahalli Ramachandra in de jaren 1960.

Vijf exponentiële stelling

Een sterker verwant resultaat vijf exponentiële stelling, luidt als volgt. Laat x1, x2 en y1, y2 twee paren van complexe getallen, waarbij elk paar zijn onafhankelijk lineair via rationele getallen, en laat γ een niet-nul algebraïsche nummer. Dan is ten minste één van de volgende vijf nummers transcendente:

Deze stelling impliceert de zes exponentiële stelling en op zijn beurt wordt geïmpliceerd door de nog onbewezen vier exponenten gissingen, die zegt dat in feite een van de eerste vier nummers op deze lijst transcendentale moet zijn.

Sharp zes exponentiële theorema

Een andere gerelateerde gevolg dat zowel de zes exponentiële stelling en de vijf exponentiële stelling impliceert is de scherpe zes exponenten stelling. Deze stelling is als volgt. Laat x1, x2 en x3 zijn complexe getallen die lineair onafhankelijk via rationele getallen, en laat y1 en y2 zijn een paar complexe getallen die lineair onafhankelijk via rationele getallen en veronderstellen dat βij zes algebraïsche nummers voor 1 ≤ i ≤ 3 en 1 ≤ j ≤ 2 zodanig dat de volgende zes nummers zijn algebraïsche:

Dan xi yj = βij voor 1 ≤ i ≤ 3 en 1 ≤ j ≤ 2. De zes exponenten stelling volgt dan door βij = 0 voor elke i en j, terwijl de vijf exponentiële stelling volgt door x3 = γ / x1 en het gebruik van Baker's stelling dat de xi lineair onafhankelijk.

Er is een scherpe versie van de vijf exponentiële stelling eveneens, hoewel het nog niet bewezen dat is bekend als de scherpe vijf exponentiële gissingen. Dit vermoeden impliceert zowel de scherpe zes exponentiële stelling en de vijf exponentiële stelling, en is als volgt verklaard. Laat x1, x2 en Y1, Y2 twee paren van complexe getallen, met elk paar zijn lineair onafhankelijk over de rationale getallen en laat α, β11, β12, β21, β22 en y zes algebraïsche nummers met γ ≠ 0, zodanig dat de volgende vijf nummers zijn algebraïsche:

Dan xi yj = βij voor 1 ≤ i, j ≤ 2 en γx2 = αx1.

Een gevolg van dit vermoeden dat momenteel bekend is zou het overstijgen van e zijn door x1 = y1 = β11 = 1, x2 = y2 = iπ en alle andere waarden in de mededeling aan nul.

Sterke zes exponentiële theorema

Een verdere versterking van de stellingen en vermoedens op dit gebied zijn de sterke versies. De sterke zes exponenten stelling is een resultaat bewezen door Damien Roy dat de scherpe zes exponentiële stelling impliceert. Dit resultaat heeft betrekking op de vector ruimte over de algebraïsche getallen gegenereerd door 1 en alle logaritmen van algebraïsche getallen, hier aangeduid als L. Dus L is de verzameling van alle complexe getallen van de vorm

we n ≥ 0, waar alle βi en ai zijn algebraïsche en elke tak van de logaritme wordt beschouwd. De sterke zes exponentiële stelling zegt dan dat als x1, x2 en x3 complexe getallen die lineair onafhankelijk via algebraïsche getallen, en als y1 en y2 een paar complexe getallen die ook lineair onafhankelijk via algebraïsche aantallen dan toch een van de zes cijfers xi yj voor 1 ≤ i ≤ 3 en 1 ≤ j ≤ 2 is niet in L. sterker is dan de standaard zes exponentiële stelling die zegt dat één van deze zes cijfers niet alleen de logaritme van een algebraïsch getal .

Er is ook een sterke vijf exponenten vermoedens door Michel Waldschmidt geformuleerd Het zou zowel impliceren, de sterke zes exponentiële stelling en de scherpe vijf exponenten gissingen. Dit vermoeden beweert dat indien x1, x2 en y1, y2 zijn twee paar complexe getallen, waarbij elk paar zijn onafhankelijk lineair via algebraïsche getallen, dan ten minste één van de volgende vijf nummers niet in L:

Alle bovenstaande vermoedens en stellingen zijn de gevolgen van de onbewezen uitbreiding van Baker de stelling, dat de logaritmen van algebraïsche getallen die lineair onafhankelijk over de rationale getallen zijn automatisch algebraïsch onafhankelijk ook. Het diagram aan de rechterkant toont de logische gevolgen, tussen al deze resultaten.

Generalisatie tot commutatieve groep variëteiten

De exponentiële functie uniformizes de exponentiële kaart van de multiplicatieve groep. De zes exponentiële stelling kan dus worden geherformuleerd in een meer abstracte manier:

Laten het gebied van complexe getallen en laat. Laat → een niet-nul-complex-analytische groepshomomorfisme. Duiden door de groep nummers in, zodanig dat is een algebraïsche punt. Wanneer echter alleen mogelijk met meer dan twee elementen over het gebied van rationele getallen, dat het beeld is van een algebraïsche subgroep.

Op deze wijze kan de verklaring van de zes exponentiële stelling worden gegeneraliseerd tot een willekeurige commutatieve groep variatie op het gebied van algebraïsche getallen. Als alternatief kan men vervangen door en "meer dan twee elementen" door "meer dan één element" een andere variant van de generalisatie verkrijgen. Deze algemene zes exponentiële vermoeden, lijkt echter buiten het toepassingsgebied van de huidige stand van transcendentale getaltheorie.

Voor de speciale, maar interessante gevallen en × ×, met elliptische krommen over het gebied van de algebraïsche getallen, resulteert in de richting van de algemene zes exponentiële vermoeden kon worden vastgesteld door Aleksander Momot. Deze resultaten impliceren de exponentiële functie en een functie Weierstrass resp. Weierstrass twee functies algebraïsche invarianten plaats van twee exponentiële functies zoals in het klassieke statement. In de klassieke verklaring nummers speelt de rol van een aggregaat van, dat is ,.

Voor een algebraïsche groep × wordt aangetoond in, onder andere, dat als geen isogenous een bocht over een echte veld en wanneer is niet een algebraïsche subgroep van, dan kan worden ofwel gegenereerd door twee elementen over, of een minimale aggregaat van dan bestaat uit drie elementen, die niet alle zijn opgenomen in een echte lijn. Een soortgelijk resultaat wordt getoond ×.

(0)
(0)
Commentaren - 0
Geen commentaar

Voeg een reactie

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Tekens over: 3000
captcha